Question

（2011•武漢模擬）在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，長(zhǎng)為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD₁上，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD內(nèi)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡是

以D為中心，半徑為1的球的

1

8

，它與有公共頂點(diǎn)D的正方體的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積是

π

6

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，得到一個(gè)直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點(diǎn)，所以|PD|的長(zhǎng)度不變，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是球面的一部分，然后利用球的體積公式進(jìn)行求解．

解答：解：如圖可得，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
設(shè)P為MN的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)度為斜邊的一半可得DP=

1

2

MN=1，
不論△MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1．
∴MN的中點(diǎn)P的軌跡是
不論△MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1．
故P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以D為中心，半徑為1的球的

1

8

球面積．
體積為

1

8

×

4

3

π×13=

π

6

．
故答案為：以D為中心，半徑為1的球的

1

8

，

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)的軌跡方程的判斷，考查球的體積公式，綜合性較強(qiáng)．