Question

已知圓C在x軸上的截距為-1和3，在y軸上的一個截距為1．
（1）求圓C的標準方程；
（2）若過點(2 ，  

3

-1)的直線l被圓C截得的弦AB的長為4，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析：（1）由圓心公式求得圓心應該在x=1這條直線上． 設：圓心為（1，y）進而根據到（-1，0）的距離=到（0，1）的距離求得y，則圓心可知，根據點與點之間的距離公式求得圓的半徑，則圓的方程可得．
（2）先看直線斜率不存在時，求得弦長為4符合題意，此時傾斜角為90°在看直線斜率存在時，設出直線方程，根據點到直線的距離求得圓心到直線的距離，進而求得斜率k，則直線的傾斜角可求．

解答：解：（1）由圓心公式：

1

2

（x₁+x₂）=

1

2

（-1+3）=1
圓心應該在x=1這條直線上．
設：圓心為（1，y），到（-1，0）的距離=到（0，1）的距離：
∴（1+1）²+y²=1²+（y-1）²
解得y=-1
∴圓心為（1，-1）
∴r²=（1+1）²+y²=4+1=5
∴圓的方程為：
（x-1）²+（y+1）²=5
（2）當直線斜率不存在時即直線與x軸垂直時，把x=2代入圓方程求得y=1或-3，
∴|AB|=1+3=4符合題意
當直線斜率存在時，設直線方程為y-

3

+1=k（x-2）
由直線l被圓C截得的弦AB的長為4，圓的半徑為

5

可求得圓心到直線的距離為

5-4

=1
∵圓心到直線的距離d=

|k+1-2k+ 3 -1|

k2+1

=1求得k=

3

3

∴傾斜角的正切為

3

3

，傾斜角為30°

點評：本題主要考查了圓與直線方程的應用．考查了圓的標準方程，點到直線的距離公式．