Question

已知函數f（x）=2sin（2x+

π

6

）-4cos²x+2，
（1）求函數f（x）的單調減區間；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的增減區間性質即可求出；
（2）把x的范圍代入求出正弦函數的取值范圍，根據增減區間從而求出值域．

解答：解：f（x）=2sin（2x+

π

6

）-4cos²x+2
=2（sin2x•

3

2

+cos2x•

1

2

）-2cos2x
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）…4分
（1）∵f（x）的單調減區間滿足：2x-

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ] k∈Z
∴x∈[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]  k∈Z…8分
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]
根據正弦函數的增減區間性質可知：
當2x-

π

6

=

5π

6

時，f（x）_min=1；
當2x-

π

6

=

π

2

時，f（x）_max=2；
∴f（x）的值域為[1，2]…13分

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的單調區間與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵