Question

（2013•北京）下列函數中，既是偶函數又在區間（0，+∞）上是單調遞減的是（　　）

• A．y=

  1

  x

• B．y=e^-x
• C．y=-x²+1
• D．y=lg|x|

Answer 1

分析：根據函數y=

1

x

是奇函數，得A項不符合題意；根據函數y=e^-x是非奇非偶函數，得B項不符合題意；根據二次函數y=-x²+1的圖象是開口向下的拋物線且關于y軸對稱，得到C項符合題意；根據對數函數的單調性，得函數y=lg|x|在（0，+∞）上是增函數，可得D項不符合題意．

解答：解：對于A，函數y=

1

x

滿足f（-x）=-

1

x

=-f（x），
可得函數是奇函數，且不是偶函數，可得A項不符合題意；
對于B，函數y=e^-x不滿足f（-x）=f（x），得函數不是偶函數，可得B項不符合題意；
對于C，函數y=-x²+1滿足f（-x）=-（-x）²+1=-x²+1=f（x），
∴函數y=-x²+1是R上的偶函數
又∵函數y=-x²+1的圖象是開口向下的拋物線，關于y軸對稱
∴當x∈（0，+∞）時，函數為減函數．故C項符合題意
對于D，因為當x∈（0，+∞）時，函數y=lg|x|=lgx，底數10＞1
所以函數y=lg|x|在區間（0，+∞）上是單調遞增的函數，可得D項不符合題意．
故選：C

點評：本題給出幾個基本初等函數，要我們找出其中的偶函數且在區間（0，+∞）上是單調減的函數，著重考查了基本初等函數的性質和函數單調性與奇偶性等知識，屬于基礎題．