Question

已知sin(π+α)=

1

3

，α∈(-

π

2

，0)，則tan

α

2

=

2

2

-3

．

Answer 1

分析：利用誘導公式化簡已知的等式，得到sinα的值，再由α的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cosα的值，進而求出tanα的值，利用二倍角的正切函數公式化簡tanα，得到關于tan

α

2

的方程，根據α的范圍求出

α

2

的范圍，求出方程的解即可得到tan

α

2

的值．

解答：解：∵sin（π+α）=-sinα=

1

3

，
∴sinα=-

1

3

，又α∈（-

π

2

，0），
∴cosα=

1-sin2α

=

2 2

3

，
∴tanα=

sinα

cosα

=-

2

4

，又tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

，
∴

2tan α 2

1-tan2 α 2

=-

2

4

，即tan²

α

2

-4

2

tan

α

2

-1=0，
解得：tan

α

2

=2

2

±3，
∵α∈（-

π

2

，0），∴

α

2

∈（-

π

4

，0），
則tan

α

2

=2

2

-3．
故答案為：2

2

-3

點評：此題考查了誘導公式，同角三角函數間的基本關系，以及二倍角的正切函數公式，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．