Question

已知常數a＞0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且==,P為GE與OF的交點(如圖).問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

剖析：根據題設條件首先求出P點坐標滿足的方程，據此可判斷是否存在兩點，使得點P到兩定點距離的和為定值.

解：按題意，有A(-2,0),B(2,0)，C(2,4a),D(-2,4a).

    設===k(0≤k≤1),由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak).

    直線OF的方程為2ax+(2k-1)y=0.                   ①

    直線GE的方程為-a(2k-1)x+y-2a=0.              ②

    由①②消去參數k,得點P(x,y)滿足方程2a²x²+y²-2ay=0.

    整理得+=1.

    當a²=時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.

    當a²≠時，點P的軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長.

    當a²＜時，點P到橢圓兩個焦點(-,a),(,a)的距離之和為定值2.

    當a²＞時，點P到橢圓兩個焦點(0,a-),(0,a+)的距離之和為定值2a.

講評：本題主要考查根據已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.在解題過程中蘊涵著方程思想、分類討論思想和構造法.