Question

 已知、，橢圓C的方程為，、分別為橢圓C的兩個焦點，設為橢圓C上一點，存在以為圓心的與外切、與內切

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點作斜率為的直線與橢圓C相交于A、B兩點，與軸相交于點D，若

求的值；

（Ⅲ）已知真命題：“如果點T（）在橢圓上，那么過點T

的橢圓的切線方程為=1.”利用上述結論，解答下面問題：

已知點Q是直線上的動點，過點Q作橢圓C的兩條切線QM、QN，

M、N為切點，問直線MN是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題主要考查直線、圓、橢圓等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想

解：（Ⅰ）依題意可知，P與外切、內切. 設P的半徑為，則

  -----------------------------------2分

，   2=4，2==2

=2，c=1 , 橢圓C的方程為+=1  ------------------------4分

（Ⅱ）直線AB：y=k（x-1），由  

,令A,則，

，      ------------------------------------6分

∵

∴，

∵2=，， ------------------------------------8分

2+

=

= ，      ∴. -----------------------10分

（Ⅲ）設Q（）,M（），N（）

         則切線QM：

切線QN：

∴     ∴M、N在直線上

∴  直線MN：------------------------------------12分

又   

 ∴直線MN必過定點（）. ------------------------------------13分