Question

已知點、，動點滿足：，且

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）已知圓W： 的切線與軌跡相交于P，Q兩點，求證：以PQ為直徑的圓經過坐標原點.

 

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）針對點的位置：點在線段上、點在軸上且在線段外、點不在軸上進行分類確定點的軌跡，前兩種只須簡單的檢驗即可，當點不在軸上時，在中，應用余弦定理得，化簡得到，再根據圓錐曲線的定義，可知動點在以為兩焦點的橢圓上，由橢圓的相關參數即可寫出橢圓的方程，最后綜合各種情況寫出所求軌跡的方程；（2）先驗證直線斜率不存在與斜率為0的情形，然后再證明直線斜率存在且不為0的情況，此時先設直線，設點，聯立直線與軌跡的方程，消去得到，進而求出及，得到，利用直線與圓相切得到，代入式子中，即可得到，從而問題得證.

試題解析：（1）①當點在線段上時

不存在或，均不滿足題目條件 1分

②當點在軸上且在線段外時，

，設

由可得∴∴ 3分

③當點不在軸上時，

在中，由余弦定理得

，即動點在以為兩焦點的橢圓上

方程為：（）

綜和①②③可知：動點的軌跡的方程為： 6分

（2）①當直線的斜率不存在時

∵直線與圓相切，故切線方程為或

切線方程與聯立方程組

可求得為或為

則以為直徑的圓的方程為，經過坐標原點

②當直線的斜率為零時

與①類似，

可求得以為直徑的圓的方程為，經過坐標原點 10分

③當直線的斜率存在且不為零時設直線的方程為

由消去得

設，則

∴

∴①

∵直線和圓相切

∴圓心到直線的距離，整理得②

將②式代入①式，得，顯然以為直徑的圓經過坐標原點

綜上可知，以為直徑的圓經過坐標原點 14分.

考點：1.軌跡的求法；2.橢圓的標準方程；3.直線與圓的位置關系；4.直線與圓錐曲線的綜合問題.