Question

對于函數f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數f（x）的不動點，已知f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）
（1）當a=1，b=-2求函數f（x）的不動點；
（2）若對任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異不動點，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，令，解關于x的不等式．

Answer 1

解：（1）當a=1，b=-2時，
ax²+（b+1）x+（b-1）=x可化為x²-x-3=x
∴x²-2x-3=0
∴x=3或-1
∴所求的不動點為-1或3．
（2）對任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異不動點，即ax²+bx+（b-1）=0有兩個不等實根
∴△₁＞0，即b²-4ab+4a＞0對任意b∈R恒成立
∴△₂=16a²-16a＜0
∴0＜a＜1
（3）
∵，
∴-1＜x＜1
∴（1+x）（1-x）＞0
∵0＜a＜1
∴lna＜0
∴g′（x）＜0
∴g（x）在定義域（-1，1）上遞減，
∵
∴可化為
∴
∴或
分析：（1）將a=1，b=-2代入f（x）=ax2+（b+1）x+b-1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不動點即可；
（2）由ax²+（b+1）x+b-1=x有兩個不動點，即ax²+bx+b-1=0有兩個不等實根，可通過判別式大于0得到關于參數a，b的不等式b²-4ab+4a＞0，由于此不等式恒成立，轉化為16a²-16a＜0即可．
（3）先證明g（x）在定義域（-1，1）上遞減，再利用函數的單調性，將不等式轉化為具體不等式組，從而得解．
點評：本題考點是函數恒成立問題，考查新定義，考查函數的單調性考查二次函數、方程的基本性質、不等式的有關知識，解題的關鍵是對新定義的理解．