Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對角線的交點．求證：
（1）C₁O∥面A₁B₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）求直線AC與平面AB₁D₁所成角的正切值．

Answer 1

證明：（1）連接A₁C₁，設A₁C₁∩B₁D₁=O₁，
連接AO₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D是正方體
∴A₁ACC₁是平行四邊形
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC（2分）
又∵O₁，O分別是A₁C₁，AC的中點，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO
∴O₁C₁OA是平行四邊形
∴C₁O∥AO₁，AO₁?平面A₁B₁D₁，C₁O?平面A₁B₁D₁，
∴C₁O∥面A₁B₁D₁；

（2）∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴CC₁⊥B₁D₁，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，
∴B₁D₁⊥平面A₁C₁C
即B₁D₁⊥A₁C，
同理可證AB₁⊥A₁C，
又B₁D₁∩AB₁=B₁，
∴A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）直線AC與平面AB₁D₁所成的角實際上
就是正四面體ACB₁D₁的一條棱與一個面所成的角，
余弦值為

3

3

，從而正切值為

2

．（13分）