【題目】已知函數
，函數
.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若不等式
在
上恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若
，求證不等式
.
【答案】(1) g(x)的增區間
，減區間
;(2) 
;(3)見解析.
【解析】試題分析：（1）根據導數的正負情況研究函數的單調性；（2）恒成立求參轉化為
恒成立，求到研究函數單調性和最值；（3）轉化為
在
上恒成立。通過求導研究函數單調性，求得函數最值。
（Ⅰ）g(x)的定義域為
， 
， 
當
時， 
在
上恒成立
所以g(x)的增區間
，無減區間當
時，令
得
令
得
所以g(x)的增區間
，減區間
.
（Ⅱ）
即
在
上恒成立
設
，考慮到
，在
上為增函數， 
，
當
時， 
， 
在
上為增函數， 
恒成立
當
時， 
， 
在
上為增函數
，在
上， 
， 
遞減，
，這時不合題意， 綜上所述， 
（Ⅲ）要證明在
上， 
只需證明
，由（Ⅱ）當a =0時，在
上， 
恒成立， 再令
， 在
上， 
， 
遞增，所以
即
，相加，得
，所以原不等式成立.
新活力總動員暑系列答案
龍人圖書快樂假期暑假作業鄭州大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|． （Ⅰ）解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）若對任意實數x∈[5，9]，f（x）≤ax﹣1恒成立，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=3sin（ωx+） 
的部分圖象如圖所示，A，B兩點之間的距離為10，且f（2）=0，若將函數f（x）的圖象向右平移t（t＞0）的單位長度后所得函數圖象關于y軸對稱，則t的最小值為（ ） 
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓C的圓心在直線3x+y﹣1=0上，且x軸，y軸被圓C截得的弦長分別為2 
，4 
，若圓心C位于第四象限
（1）求圓C的方程；
（2）設x軸被圓C截得的弦AB的中心為N，動點P在圓C內且P的坐標滿足關系式（x﹣1）2﹣y2= 
，求 
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數y=f（x），若在定義域內存在x0 ， 使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，則稱x0為函數f（x）的局部對稱點．
（1）若a∈R，a≠0，證明：函數f（x）=ax2+x﹣a必有局部對稱點；
（2）若函數f（x）=2x+b在區間[﹣1，1]內有局部對稱點，求實數b的取值范圍；
（3）若函數f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部對稱點，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E: 
經過點P(2,1)，且離心率為
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，在橢圓短軸上有兩點M，N滿足
，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．探求直線AB是否過定點，如果經過定點請求出定點的坐標，如果不經過定點，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=x2+2ax+3在（﹣∞，1]上是減函數，當x∈[a+1，1]時，f（x）的最大值與最小值之差為g（a），則g（a）的最小值是 ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f（x）=2sin（2x+ 
），g（x）=mcos（2x﹣ 
）﹣2m+3（m＞0），若對任意x1∈[0， 
]，存在x2∈[0， ]，使得g（x1）=f（x2）成立，則實數m的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
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