Question

求函數解析式
（1）求一次函數f（x），使f[f（x）]=9x+1；
（2）已知f（

x+1

x

）=

x2+x+1

x2

，求f（x）；
（3）f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，并且f（x）+g（x）=

1

x-1

，求f（x）、g（x）；
（4）f（x）的定義域是正整數集N^*，f（1）=1，且f（x+1）=f（x）+5，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）可用待定系數法；（2）可用配湊法；（3）因考慮到f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，所以可以用-x代換x，利用方程組法求解；（4）轉換為數列問題，利用數列的方法解決問題．

解答：解：（1）令f（x）=ax+b，則f[f（x）]=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=9x+1；
解得：

a=3 b= 1 4

或

a=-3 b=- 1 2

∴f(x)=3x+

1

4

或f(x)=-3x-

1

2

（2）∵f（

x+1

x

）=

x2+x+1

x2

=（

x+1

x

）²-（

x+1

x

）+1
∴f（x）=x²-x+1（x≠1）
（3）∵f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，且f（x）+g（x）=

1

x-1

①，
∴f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=

1

-x-1

②，
即：f（x）=

x

x2-1

； g（x）=

1

x2-1

（4）∵f（x+1）=f（x）+5，∴f（x+1）-f（x）=5，
∴f（x）-f（x-1）=5，
f（x-1）-f（x-2）=5，
…
f（3）-f（2）=5，
f（2）-f（1）=5，
將上邊一系列式子左右兩邊相加得f（x）-f（1）=5（x-1），又∵f（1）=1，
∴f（x）=5x-4

點評：求解析式的幾種常見方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g（x））用代入法，只需將g（x）替換f（x）中的x即得；②換元法：已知f（g（x）），g（x），求f（x）用換元法，令g（x）=t，解得x=g-1（t），然后代入f（g（x））中即得f（t），從而求得f（x）．當f（g（x））的表達式較簡單時，可用“配湊法”；③待定系數法：當函數f（x）類型確定時，可用待定系數法．④方程組法：方程組法求解析式的實質是用了對稱的思想．一般來說，當自變量互為相反數、互為倒數或是函數具有奇偶性時，均可用此法．在解關于f（x）的方程時，可作恰當的變量代換，列出f（x）的方程組，求得f（x）．