Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x²-2x+m．
（1）求m及f（-3）的值；
（2）求f（x）的解析式并畫出簡圖；
（3）寫出f（x）的單調區間（不用證明）．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0可求得m=0，結合題目條件可求得f（3）=3，從而有f（-3）=-3；
（2）由f（x）是定義在R上的奇函數與當x≥0時，f（x）=x²-2x+m可求得當x＜0時，f（x）=-x²-2x（x＜0），從而可得f（x）的解析式；
（3）由f（x）=

x2-2x(x≥0) -x2-2x(x＜0)

的圖象可得到其單調區間．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，
∴m=0，…（2分）
∴當x≥0時，f（x）=x²-2x
∴f（-3）=-f（3）=-3…（4分）
（2）當x＜0時，-x＞0
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x…（6分）
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=x²+2x，即f（x）=-x²-2x（x＜0）
∴f（x）的解析式為f(x)=

x2-2x(x≥0) -x2-2x(x＜0)

…（8分）
f（x）的圖象如下圖：…（10分）
（3）由f（x）的圖象可知：f（x）的增區間為（-∞，-1]，[1，+∞），減區間為[-1，1]…（14分）

點評：本題考查二次函數的圖象，著重考查求分段函數解析式的求法與作函數的圖象，考查轉化思想與數形結合思想的應用，屬于中檔題．