Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a

2 n

+2a_n（n∈N₊）．
（1）證明數列{log₂（a_n+1）}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）記數列{b_n}滿足b_n=

an+1

an+1

，求證：b_n=

an+1-an

anan+1

，并求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）把已知遞推式兩邊同時加1，配方后代入log₂（a_n+1）得答案；
（2）由b_n=

an+1

an+1

得到b_n=

an2+an

anan+1

，裂項后即可求得數列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 證明：（1）由a_n+1=an2+2a_n，得
an+1+1=an2+2an+1，即an+1+1=(an+1)2，
∴log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），
又a₁=1，
∴數列{log₂（a_n+1）}是以log₂（1+1）=log₂2=1為首項，以2為公比的等比數列，
∴log₂（a_n+1）=2^n-1，即an+1=22n-1．
∴數列{a_n}的通項公式為an=22n-1-1；
（2）b_n=

an+1

an+1

=

an2+an

anan+1

，
∵a_n+1=an2+2a_n，
∴an+1-an=an2+an，
∴b_n=

an+1-an

anan+1

，
∵bn=

an+1-an

anan+1

=

1

an

-

1

an+1

．
∴Sn=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=1-

1

22n-1

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等比關系的確定，考查了學生靈活分析問題和解決問題的能力，是中檔題．