Question

如圖，ABCD是圓的內接四邊形，AB∥CD，過A點的圓的切線與CD的延長線交于P點，證明：
（1）∠PAD=∠CAB；
（2）AD²=AB•PD．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的內錯角相等，得∠ACD=∠CAB，再由弦切角定理，得∠PAD=∠ACD，可得∠PAD=∠CAB；
（2）根據圓內接四邊形的性質，得∠ADP=∠CBA，結合∠PAD=∠CAB得△PAD∽△CAB，從而

PD

CB

=

AD

AB

，最后由圓的平行弦截得弦長相等，得CB=AD，從而得到AD²=AB•PD．

解答：解：（1）∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB
∵AP切圓于A點，∠PAD夾弧AD
∴∠PAD=∠ACD，可得∠PAD=∠CAB；
（2）∵ABCD是圓的內接四邊形，
∴∠ADP=∠CBA
∵∠PAD=∠CAB，
∴△PAD∽△CAB，可得

PD

CB

=

AD

AB

∵AB、CD是圓的平行弦
∴CB=AD，可得

PD

AD

=

AD

AB

，得AD²=AB•PD．

點評：本題在圓中證明角相等，并且證明線段的比例中項，著重考查了圓內接四邊形的性質、相似三角形和與圓有關的比例線段等知識，屬于中檔題．