Question

【題目】已知函數，其中．

Ⅰ如果曲線與x軸相切，求a的值；

Ⅱ若，證明：；

Ⅲ如果函數在區間上不是單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）（-ln2，1）

【解析】

（Ⅰ）先求導，再根據導數的幾何意義即可求出，

（Ⅱ）構造函數F（x）=f（x）-x=lnx-2x+ln2e，根據導數和函數單調性的關系以及最值得關系，即可證明

（Ⅲ）先求出函數g（x）在（1，e）上是單調函數a的范圍即可，求導，分離參數構造函數，求出函數的最值即可．

解：（I）求導．得f′（x）=-1=

∵曲線y=f（x）與x軸相切，∴此切線的斜率為0．

由f′（x）=0，解得x=1，

又由曲線y=（x）與x軸相切，得f（1）=-1+a=0

解得a=1．

（II）證明：由題意，f（x）=lnx-x+ln2e，

令函數F（x）=f（x）-x=lnx-2x+ln2e

求導，得F′（x）=-2=

由F′（x）=0，得x=，

當x變化時，F′（x）與F（x）的變化情況如下表所示：

x	（0，）		（，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	增	極大值	減

∴函數F（x）在（0，）上單調遞增，在（，+∞）單調遞減，

故當x=時，F（x）max=F（）=ln-1+ln2e=0，

∴任給x∈（0，+∞），F（x）=f（x）-x≤0，即f（x）≤x，

（Ⅲ）由題意可得，g（x）=，

∴g′（x）=，

當g′（x）≥0時，在（1，e）上恒成立，函數g（x）單調遞增，

當g′（x）≤0時，在（1，e）上恒成立，函數g（x）單調遞減，

∴x-2lnx+1-2a≥0在（1，e）上恒成立，或x-2lnx+1-2a≤0在（1，e）上恒成立，

∴2a≤x-2lnx+1在（1，e）上恒成立，或2a≥x-2lnx+1在（1，e）上恒成立，

令h（x）=x-2lnx+1，

∴h′（x）=1-=，

由h′（x）=0，解得x=2，

當x∈（1，2）時，h′（x）＜0，函數h（x）單調遞減，

當x∈（2，e）時，h′（x）＞0，函數h（x）單調遞增，

∵h（1）=2，h（e）=e-2+1=e-1，

∴h（x）max=h（1）=2

∴h（x）min=h（2）=3-2ln2，

∴2a≥2或2a≤3-2ln2，

∴a≥1或a＜-ln2，

∵函數在區間（1，e）上不是單調函數，

∴-ln2＜a＜1，

故a的取值范圍為（-ln2，1）．