Question

一個正三棱柱恰好有一個內切球（球與三棱柱的兩個底面和三個側面都相切）和一個外接球（球經過三棱柱的6個頂點），則此內切球與外接球表面積之比為

 

．

Answer 1

分析：設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，當球外切于正三棱柱時，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距，求出正三棱柱的高為，當球外接正三棱柱時，球的圓心是正三棱柱高的中點，且球的圓心與正三棱柱兩個底面正三角形構成兩個正三棱錐，求出外接球的半徑，即可求出內切球與外接球表面積之比．

解答：解：設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，其內切球的半徑為R
當球外切于正三棱柱時，球的半徑R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到對邊的距離即R=

3

3

a，到相對棱的距離是

2 3

3

a
又正三棱柱的高是其內切球半徑的2倍，故正三棱柱的高為

2 3

3

a，
 球外接正三棱柱時，球的圓心是正三棱柱高的中點，且球的圓心與正三棱柱兩個底面正三角形構成兩個正三棱錐，頂點在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到頂點的距離

2 3

3

a，棱錐的高為

3

3

a
故正三棱錐外接球的半徑滿足R22=(

2 3

3

a)2+(

3

3

a)2=

5

3

a2，
∴內切球與外接球表面積之比為4（πR²）：（4πR₂²）=R²：R₂²=1：5．
故答案為1：5

點評：本題是基礎題，考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，是常考題型，求內切球與外接球的半徑是本題的關鍵．