Question

求下列函數的定義域、值域及單調性．
（1）y=（

1

2

）6+x-2x²；
（2）y=（

2

3

）^-|x|．

Answer 1

分析：（1）由題令u=6+x-2x²，則y=（

1

2

）^u．則函數為單調遞減的指數函數，u為二次函數，則求出u的最大值得到y的最小即可求出值域，定義域為R，u的對稱軸求出，在對稱軸左邊函數增函數，右邊為減函數，在根據復合函數求出y的單調區間即可；
（2）y為指數函數定義域為R，且為單調遞減，|x|最小值為0，分x大于0，小于0，等于0以及y為偶函數討論函數的單調區間即可．

解答：解：（1）函數的定義域為R，
令u=6+x-2x²，則y=（

1

2

）^u．
∵二次函數u=6+x-2x²=-2（x-

1

4

）²+

49

8

，
∴函數的值域為{y|y≥（

1

2

）

49

8

}．
又∵二次函數u=6+x-2x²的對稱軸為x=

1

4

，
在[

1

4

，+∞）上u=6+x-2x²是減函數，
在（-∞，

1

4

]上是增函數，又函數y=（

1

2

）^u是減函數，
∴y=（

1

2

）6+x-2x²在[

1

4

，+∞）上是增函數，
在（-∞，

1

4

]上是減函數．
（2）定義域為x∈R．
∵|x|≥0，∴y=（

2

3

）^-|x|=（

3

2

）^|x|≥（

3

2

）⁰=1．
故y=（

2

3

）^-|x|的值域為{y|y≥1}．
又∵y=（

2

3

）^-|x|是偶函數，
且y=（

2

3

）^-|x|=

( 3 2 )x(x≥0) ( 2 3 )x(x＜0)

所以函數y=（

2

3

）^-|x|在（-∞，0]上是減函數，在[0，+∞）上是增函數．

點評：考查函數理解函數定義域即求法的能力，以及掌握指數函數的單調性與特殊點，求指數函數的定義域和值域的能力．