Question

如圖，設A是單位圓和x軸正半軸的交點，P，Q是單位圓上兩點，O是坐標原點，且∠AOP=

π

6

，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若點Q的坐標是(

3

5

，

4

5

)，求cos(α-

π

6

)的值；
（Ⅱ）設函數f(α)=

OP

•

OQ

，求f（α）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據三角函數的定義和題意求出cosα，sinα的值，再由兩角差的余弦公式展開后代入求值；
（Ⅱ）根據向量的數量積坐標運算和條件代入f(α)=

OP

•

OQ

，利用兩角和正弦公式進行化簡，根據α的范圍和正弦函數的性質求出值域．

解答：解：（Ⅰ）∵點Q的坐標是(

3

5

，

4

5

)，∴cosα=

3

5

，sinα=

4

5

．（2分）
∴cos(α-

π

6

)=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．（6分）
（Ⅱ）f(α)=

OP

•

OQ

=(cos

π

6

，sin

π

6

)•(cosα，sinα)=

3

2

cosα+

1

2

sinα=sin(α+

π

3

)．（9分）
∵α∈[0，π），則α+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

)，
∴-

3

2

＜sin(α+

π

3

)≤1．
故f（α）的值域是(-

3

2

，1]．（12分）

點評：本題是由關三角函數的綜合題，考查了三角函數的定義，兩角和差的正弦（余弦）公式，正弦函數的性質的應用，三角函數是高考的重點，必須掌握和理解公式以及三角函數的性質，并會應用．