Question

某高校組織的自主招生考試，共有1000名同學參加筆試，成績均介于60分到100分之間，從中隨機抽取50名同學的成績進行統計，將統計結果按如下方式分為4組：第1組[60,70），第2組[70,80），第3組[80,90），第4組[90,100].如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，且筆試成績在85分（含85分）以上的同學有面試資格.
（Ⅰ）估計所有參加筆試的1000名同學中，有面試資格的人數；
（Ⅱ）已知某中學有甲、乙兩位同學取得面試資格，且甲的筆試比乙的高；面試時，要求每人回答兩個問題，假設甲、乙兩人對每一個問題答對的概率均為；若甲答對題的個數不少于乙，則甲比乙優先獲得高考加分資格.求甲比乙優先獲得高考加分資格的概率.

Answer 1

（Ⅰ）人；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）先計算出內的頻率，再計算出滿足條件的頻率乘以相應的總人數即可；（Ⅱ）應用列舉法寫出滿足條件的所有情況，再找出甲答對題的個數不少于乙的情況數，利用古典概型求解.
試題解析：（Ⅰ）設第組的頻率為，則由頻率分布直方圖知
       （2分）
所以成績在85分以上的同學的概率
P≈            （5分）
故這1000名同學中，取得面試資格的約有人. （6分）
（Ⅱ）設答對記為1，打錯記為0，則所有可能的情況有：
甲₀₀乙₀₀，甲₀₀乙₁₀，甲₀₀乙₀₁，甲₀₀乙₁₁，甲₁₀乙₀₀，甲₁₀乙₁₀，甲₁₀乙₀₁，
甲₁₀乙₁₁，甲₀₁乙₀₀，甲₀₁乙₁₀，甲₀₁乙₀₁，甲₀₁乙₁₁，甲₁₁乙₀₀，甲₁₁乙₁₀，
甲₁₁乙₀₁，甲₁₁乙₁₁，共16個              （9分）
甲答對題的個數不少于乙的情況有：
甲₀₀乙₀₀，甲₁₀乙₀₀，甲₁₀乙₁₀，甲₁₀乙₀₁，甲₀₁乙₀₀，甲₀₁乙₁₀，甲₀₁乙₀₁，
甲₁₁乙₀₀，甲₁₁乙₀₁，甲₁₁乙₁₀，甲₁₁乙₁₁，共11個    （11分）
故甲比乙優先獲得高考加分資格的概率為.        （12分）