Question

14、如圖，正四面體ABCD的頂點A、B、C分別在兩兩垂直的三條射線Ox、Oy、Oz上，給出下列四個命題：
①多面體O-ABC是正三棱錐；
②直線OB∥平面ACD；
③直線AD與OB所成的角為45°；
④二面角D-OB-A為45°．
其中真命題有

①③④

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：結合圖形，逐一分析答案，運用排除、舉反例直接計算等手段，找出正確答案．

解答：解：①如圖ABCD為正四面體，
∴△ABC為等邊三角形，
又∵OA、OB、OC兩兩垂直，
∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，
過O作底面ABC的垂線，垂足為N，
連接AN交BC于M，
由三垂線定理可知BC⊥AM，
∴M為BC中點，
同理可證，連接CN交AB于P，則P為AB中點，
∴N為底面△ABC中心，
∴O-ABC是正三棱錐，故A正確．
②將正四面體ABCD放入正方體中，如圖所示，顯然OB與平面ACD不平行．
則②不正確，
③直線AD與OB所成的角為45°；
④二面角D-OB-A為45°．
命題③④顯然成立．
故答案為：①③④．

點評：結合圖形分析答案，增強直觀性，考查空間想象能力．屬基礎題．