Question

設a＞1，若僅有一個常數c使得對于任意的y∈[a，2a]，都有x∈[a，a²]滿足方程log_ax+log_ay=c，這時a+c的取值為（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：由log_ax+log_ay=c可以用x表達出y，轉化為函數的值域問題求解．

解答：解：解：∵log_ax+log_ay=c，∴log?a(xy)=c，xy=ac，即y=

ac

x

在x∈[a，a²]上單調遞減，
∴當x∈[a，a²]時，y∈[a^c-2，a^c-1]，
∴

ac-2≥a ac-1≤2a

，即

c-2≥1 c-1≤loga2+1

，所以

c≥3 c≤2+loga2

，
因為有且只有一個常數c符合題意，所以2+log_a2=3，即log_a2=1．
解得，a=2，c=3
∴a+c=2+3=5．
故答案為：C

點評：本題主要考查對數的基本運算，利用對數的性質是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．