Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+5，記f（x）的導數為f′（x）．
（1）若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，且x=時，y=f（x）有極值，求函數f（x）的解析式；
（2）在（I）的條件下，求函數f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，利用曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，且x=時，y=f（x）有極值，建立兩個方程，即可求函數f（x）的解析式；
（2）確定函數的極值點，利用函數的最值在極值點處及端點處取得，即可得到結論．
解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+5，求導數得f'（x）=3x²+2ax+b，
∵在函數f（x）圖象上一點P（1，f（1））處切線的斜率為3，
∴f'（1）=3，即3+2a+b=3，化簡得2a+b=0①；
∵y=f（x）在x=時有極值，∴f'（）=0，即4a+3b+4=0 ②．
由①②聯立解得a=2，b=-4，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）由（1）知f'（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2）
∴函數在x=-2及x=時有極值
∵f（-4）=-11，f（-2）=13，f（）=，f（1）=6
∴函數f（x）在[-4，1]上的最大值為13，最小值為-11．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的極值與最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．