Question

已知（1+2x）ⁿ的展開式中，第六項和第七項的二項式系數最大．
（1）求n的值；
（2）求展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）由（1+2x）ⁿ的展開式中，第六項和第七項的二項式系數最大即c_n⁵=C_n⁶且最大，可求n
（2）由（1）可知n=11，設（1+2x）¹¹展開式中系數最大的項第r+1項T_r+1=2^r•C₁₁^r•x^r，令t_r+1=2^r•C₁₁^r，則

tr+1≥tr tr+1≥tr+2

，代入解不等式可求r

解答：解：（1）∵第六項、第七項二項式系數最大
∴c_n⁵=C_n⁶且最大
∴n=11 （4分）
（2）設（1+2x）¹¹展開式中系數最大的項第r+1項T_r+1=2^r•C₁₁^r•x^r，令t_r+1=2^r•C₁₁^r
則

C r 11 2r≥  C r-1 11 2r-1 C r 11 2r≥ C r+1 11 2r+1

，
則7≤r≤8
∵r∈N^*∴r=7或r=8
r=7時，T₈=C₁₁⁷•2⁷•x⁷=42240x⁷
r=8時，T₉=C₁₁⁸•2⁸•x⁸=42240x⁸
即展開式中系數最大的項有兩項，即第八項42240 x⁷與第九項42240 x⁸（8分）

點評：本題主要考查了二項 展開式的二項式系數的性質的應用，二項展開式的 系數的應用，及理由數列的單調性求解數列最大（小）項，屬于知識的綜合應用．