Question

 某高校在2010年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示。

（1）求第3、4、5組的頻率；

（2）為了能選拔出最優秀的學生，該校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少學生進入第二輪面試？

（3）在（2）的前提下，學校決定在這6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試，求第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率。

 

Answer 1

【答案】

（1）0.1；（2）第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人；（3）.

【解析】第一問由題設可知，第3組的頻率為0.06×5=0.3，第4組的頻率為0.04×5=0.2，第5組的頻率為0.02×5=0.1。

第二問第3組的人數為0.3×100=30，第4組的人數為0.2×100=20，第5組的人數為0.1×100=10。

因為第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組抽取的人數分別為第3組：，第4組：，第5組：，所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人

第三問設第3組的3名學生分別為A₁、A₂、A₃­，第4組的2名學生分別為B₁、B₂，第5組的1名學生為C₁，則從6名學生中抽取兩位學生有：（A₁，A₂）、（A₁，A₃）、（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、（A₁，C₁）、（A₂，A₃）、（A₂，B₁）、（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共15種可能。其中第4組的2位學生B₁，B₂至少有一位學生入選的有：（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、(A₂，B₁）、（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共9種可能，所以第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率為

解：（1）由題設可知，第3組的頻率為0.06×5=0.3，第4組的頻率為0.04×5=0.2，第5組的頻率為0.02×5=0.1。………………………………3分

（2）第3組的人數為0.3×100=30，第4組的人數為0.2×100=20，第5組的人數為0.1×100=10。

因為第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組抽取的人數分別為第3組：，第4組：，第5組：，所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人。…………………6分

（3）設第3組的3名學生分別為A₁、A₂、A₃­，第4組的2名學生分別為B₁、B₂，第5組的1名學生為C₁，則從6名學生中抽取兩位學生有：（A₁，A₂）、（A₁，A₃）、（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、（A₁，C₁）、（A₂，A₃）、（A₂，B₁）、（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共15種可能。其中第4組的2位學生B₁，B₂至少有一位學生入選的有：（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、(A₂，B₁）、（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共9種可能，所以第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率為。………………………………12分