Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，已知Sn=

n2+3n

2

，bn=12×32-an．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在一個(gè)最小正整數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，S_n＞Tn恒成立？若存在求出這個(gè)M值，若不存在，說明理由．
（Ⅲ）設(shè)cn=

an-1

(n+1)!

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和U_n及其取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，即當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，再驗(yàn)證，n=1即可．
（Ⅱ）由數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可推出{b_n}的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，最后比較S_n，T_n即可得解．
（Ⅲ）求出{c_n}通項(xiàng)，進(jìn)而再利用裂項(xiàng)相消法求出的前n項(xiàng)和U_n．從而得解．

解答：解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+1，
綜上，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=n+1（n∈N*）（4分）

（II）bn=12×32-(n+1)=36×

1

3n

，b1=12，

bn+1

bn

=

1

3

，
∴數(shù)列{b_n}是以12為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
∴Tn=

12[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=18(1-

1

3n

)．（7分）
由此可知12≤T_n＜18．
而{S_n}是一個(gè)遞增數(shù)列，
且S₁=2，T₁=12，S₂=5，T₂=16，S₃=9，T₃=17

2

3

，S₄=14，T₄=17

80

81

，S5=20．
故存在一個(gè)最小正整數(shù)M=4，當(dāng)n＞M時(shí)，S_n＞T_n恒成立．（10分）
（Ⅲ）cn=

an-1

(n+1)!

=

n

(n+1)!

=

1

n!

-

1

(n+1)!

，U_n=c₁+c₂+c₃++c_n-1+c_n=

1

1!

-

1

2!

+

1

2!

-

1

3!

+

1

3!

-

1

4!

++

1

(n-1)!

-

1

n!

+

1

n!

-

1

(n+1)!

=1-

1

(n+1)!

∵0＜

1

(n+1)!

≤

1

2

，∴U_n的取值范圍是[

1

2

，1)（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)及前n想和求法，注意：
（I）利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)，注意n=1的驗(yàn)證．
（II）比較S_n，T_n時(shí)，要注意綜合利用數(shù)列單調(diào)性．
（Ⅲ）裂項(xiàng)相消求和方法的利用．以上考點(diǎn)在高考中大量出現(xiàn)，要重視．