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對定義在［-1，1］上的函數f(x)，若存在常數M＞0，使得對任意x₁、x₂∈［-1,1］，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤M|x₁-x₂|,則稱f(x)具有性質L，試問函數f(x)=x²+2x+3是否具有性質L？證明你的結論.

解析：函數f(x)=x²+2x+3具有性質L.

證明：由|f(x₁)-f(x₂)|=|x₁²-x₂²+2(x₁-x₂)|=|x₁-x₂||x₁+x₂+2|≤|x₁-x₂|(|x₁|+|x₂|+2)≤4|x₁-x₂|,

∴存在M=4，使f(x)具有性質L.

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在（-1，1）上的函數f（x），對任意的x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；且當x∈（-∞，0）時，f（x）＞0，回答下列問題：
（1）判斷函數f（x）在（-1，1）的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷函數f（x）在（-1，1）的單調性，并說明理由；
（3）若f(

，試求f(

)-f(

)的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足f(logax)=

a2-1

(x-x-1)(a＞0，a≠1)，
（Ⅰ）求f（x）的解析式并判斷其單調性；
（Ⅱ）對定義在（-1，1）上的函數f（x），若f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈（-∞，2）時，關于x的不等式f（x）-4＜0恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足：①對任意x，y∈(-1，1)有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，②當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0；若P=f(

)+f(

)+…+f(

r2+r-1

)+…+f(

20092+2009-1

)，Q=f(

)，R=f（0），則P，Q，R的大小關系為

Q＜P＜R

（用“＜”連接）

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在區間[-1，1]上的奇函數f（x）滿足：對任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0，f（1）=-3．
（1）證明：f（x）在[-1，1]上是減函數；
（2）解不等式：f（x+1）+f（x²-1）＞0；
（3）若不等式f（x）≤m²+2am對任意x，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖北省宜昌一中高一（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）滿足

，
（Ⅰ）求f（x）的解析式并判斷其單調性；
（Ⅱ）對定義在（-1，1）上的函數f（x），若f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈（-∞，2）時，關于x的不等式f（x）-4＜0恒成立，求a的取值范圍．

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