Question

【題目】已知函數f（x）=loga （0＜a＜1）為奇函數，當x∈（﹣2，2a）時，函數f（x）的值域是（﹣∞，1），則實數a+b= ．

Answer 1

【答案】 +1
【解析】解：∵函數f（x）=loga （0＜a＜1）為奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

即f（﹣x）+f（x）=0，

∴loga +loga =loga =0，

即 =1，

∴4﹣x2=b2﹣x2，

即b2=4，解得b=±2，

當b=﹣2時，函數f（x）=loga =f（x）=loga（﹣1）無意義，舍去．

當b=2時，函數f（x）=loga 為奇函數，滿足條件．

∵ =﹣1+ ，在（﹣2，+∞）上單調遞減．

又0＜a＜1，

∴函數f（x）=loga 在x∈（﹣2，2a）上單調遞增，

∵當x∈（﹣2，2a）時，函數f（x）的值域是（﹣∞，1），

∴f（2a）=1，

即f（2a）=loga =1，

∴ =a，

即1﹣a=a+a2，

∴a2+2a﹣1=0，

解得a=﹣1± ，

∵0＜a＜1，

∴a= ﹣1，

∴a+b= ﹣1+2= +1，

所以答案是： +1．

【考點精析】認真審題，首先需要了解函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)．