Question

設△ABCABC的三邊長分別為a，b，c，
（1）判定b+c-a，a+b-c，c+a-b的符號；
（2）求證：

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

≥a+b+c．

Answer 1

分析：（1）根據三角形任意兩邊任何大于第三邊直接求解
（2）對

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

提出

1

a+b+c

并乘以（b+c-a）+（a+b-c）+（c+a-b）=a+b+c保證式子不變．然后把（b+c-a）+（a+b-c）+（c+a-b）乘進括號內進行化簡，即可得到與a+b+c的關系．

解答：解：（1）因為a，b，c的三角形的三邊，
所以根據三角形任意兩邊任何大于第三邊，有：
b+c-a＞0
a+b-c＞0
c+a-b＞0
（2）

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

=

1

a+b+c

•（

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

）•[（b+c-a）+（a+b-c）+（c+a-b）]
≥

1

a+b+c

（

a2 b+c-a

•

b+c-a

+

b2 c+a-b

•

a+b-c

+

c2 a+b-c

• 

c+a-b

）²

=

1

a+b+c

•（a+b+c）²
=a+b+c
即：

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

≥a+b+c．

點評：本題考查不等式的證明，也考查對于等式和不等式的化簡，需要熟練準確的進行計算，本題屬于中檔題．