Question

（1）已知點A是曲線ρ=2sinθ上任意一點，則點A到直線的距離的最小值是________．
（2）已知2x+y=1，x＞0，y＞0，則的最小值是________．
（3）如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，直線MN切⊙O于點C，BE∥MN交AC于點E．若AB=6，BC=4，則AE的長為________．

Answer 1

解：（1）曲線ρ=2sinθ 即 ρ²=2ρ sinθ，x²+y²=2y，x²+（y-1）²=1，
表示以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓．
直線 即 ρsinθ+cosθ=4，x+y-8=0．
圓心到直線的距離等于 =，故點A到直線的距離的最小值是 -1=，
故答案為 ．
（2）=+=+=++5≥2+5=9，
故 的最小值是 9，故答案為 9．
（3）由題意得∠BCM=∠CBE=∠BAC，∠BCE=∠ACB，∴△ABC∽△BEC，
∴=，=，∴CE=，AE=AC-CE=6-=，
故答案為 ．
分析：（1）把極坐標方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最小距離等于圓心到直線的距離減去半徑．
（2）由題意得 =+=+=++5，利用基本不等式求最小值．
（3）由題意得∠BCM=∠CBE=∠BAC，∠BCE=∠ACB，根據△ABC∽△BEC，對應邊成比例，求出 CE 的長，即可得到AE的長．
點評：本題考查把極坐標方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系；基本不等式的應用，利用三角形相似求線段的長度．