Question

【題目】已知 ≤a≤1，若函數f（x）=ax2﹣2x+1在區間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a）．
（1）求g（a）的函數表達式；
（2）判斷函數g（a）在區間[ ，1]上的單調性，并求出g（a）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax2﹣2x+1的對稱軸為x= ，

∵ ≤a≤1，∴1≤ ≤3，

∴f（x）在[1，3]上的最小值f（x）min=N（a）=f（ ）=1﹣ ．

∵f（x）=ax2﹣2x+1在區間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），

∴①當1≤ ≤2，即 ≤a≤1時，

M（a）=f（3）=9a﹣5，N（a）=f（ ）=1﹣ ．

g（a）=M（a）﹣N（a）=9a+ ﹣6．

②當2＜ ≤3時．即 ≤a＜ 時，

M（a）=f（1）=a﹣1，N（a）=f（ ）=1﹣ ．

g（a）=M（a）﹣N（a）=a+ ﹣2．

∴g（a）=

（2）解：由（1）可知當 ≤a≤1時，g（a）=M（a）﹣N（a）=9a+ ﹣6≥0，當且僅當a= 時取等號，所以它在[ ，1]上單調遞增；

當 ≤a＜ 時，g（a）=M（a）﹣N（a）=a+ ﹣2≥0，當且僅當a=1時取等號，所以g（a）在[ ]單調遞減．

∴g（a）的最小值為g（ ）=9×

【解析】（1）明確f（x）=ax2﹣2x+1的對稱軸為x= ，由 ≤a≤1，知1≤ ≤3，可知f（x）在[1，3]上單調遞減，N（a）=f（ ）=1﹣ ．由a的符號進行分類討論，能求出g（a）的解析式；（2）根據（1）的解答求g（a）的最值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對二次函數在閉區間上的最值的理解，了解當時，當時，；當時在上遞減，當時，．