Question

已知⊙C過點P（1，1），且與⊙M：（x+2）²+（y-2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．
（1）設Q為⊙C上的一個動點，求

PQ

•

MQ

的最小值；
（2）過點P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設圓心C的坐標，利用對稱的特征：①點與對稱點連線的中點在對稱軸上；②點與對稱點連線的斜率與對稱軸的斜率之積等于-1，求出圓心坐標，
又⊙C過點P（1，1），可得半徑，從而寫出⊙C方程．設Q的坐標，用坐標表示兩個向量的數量積，化簡后再進行三角代換，可得其最小值．
（2）設出直線PA和直線PB的方程，將它們分別與⊙C的方程聯立方程組，并化為關于x的一元二次方程，由x=1一定是該方程的解，可求得A，B的橫坐標
（用k表示的），化簡直線AB的斜率，將此斜率與直線OP的斜率作對比，得出結論．

解答：解：（1）設圓心C（a，b），半徑為r，則由題意可得

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2  =1

，求得

a=0 b=0

．
再由r=|CP|=

2

，可得圓C的方程為  x²+y²=2．
設Q（x，y），由于點M（-2，2），∴

PQ

•

MQ

=（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-2．
令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，則 x+y-2=2sin（θ+

π

4

）-2，故它的最小值為-2-2=-4．
（2）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，
故可設PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，求得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．
因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得 x_A=

k2-2k-1

1+k2

．
同理，x_B=

k2+2k-1

1+k2

，所以K_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xB+xA)

xB-xA

=1=k_OP ，
所以，直線AB和OP一定平行．

點評：本題考查圓的標準方程的求法，兩個向量的數量積公式的應用，直線與圓的位置關系的應用，屬于中檔題．