Question

若P（x₀，y₀）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，求過P的橢圓的切線方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：首先根據橢圓的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，求出y的導數；然后求出切線的斜率，即可得出切線的點斜式方程，據此解答即可．

解答： 解：由

x2

a2

+

y2

b2

=1，
可得y=±

b2- b2x2 a2

，
所以y′=±

2b2x a2

2 b2- b2x2 a2

=±

bx

a a2-x2

，
所以過P的橢圓的切線的斜率為：±

bx0

a a2-x02

；
又因為P（x₀，y₀）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
所以

x02

a2

+

y02

b2

=1，
可得a2-x02=

a2y02

b2

，
所以過P的橢圓的切線的斜率為：±

bx0

a a2-x02

=

b2x0

a2y0

，
所以過P的橢圓的切線方程為：y-y₀=

b2x0

a2y0

（x-x₀），
整理，可得過P的橢圓的切線方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，
即b2x0x+a2y0y-a2b2=0．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，屬于中檔題，解答此題的關鍵是利用導數求出過P的橢圓的切線的斜率．