Question

（2003•東城區二模）某城市為了改善交通狀況，需進行路網改造．已知原有道路a個標段（注：1個標段是指一定長度的機動車道），擬增建x個標段的新路和n個道路交叉口，n與x滿足關系n=ax+b，其中b為常數．設新建1個標段道路的平均造價為k萬元，新建1個道路交叉口的平均造價是新建1個標段道路的平均造價的β倍（β≥1），n越大，路網越通暢，記路網的堵塞率為μ，它與β的關系為μ=

1

2(1+β)

．
（Ⅰ）寫出新建道路交叉口的總造價y（萬元）與x的函數關系式：
（Ⅱ）若要求路網的堵塞率介于5%與10%之間，而且新增道路標段為原有道路標段數的25%，求新建的x個標段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比P的取值范圍；
（Ⅲ）當b=4時，在（Ⅱ）的假設下，要使路網最通暢，且造價比P最高時，問原有道路標段為多少個？

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由題意得到新建道路交叉口的總造價y（萬元）與x的函數關系式；
（Ⅱ）由題意可知P=

kx

y

，再由路網的堵塞率介于5%與10%之間列式得到β的范圍，從而得到P的范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，要使路網最通暢，且造價比P最高時β=9，代入造價比P=

a

β(a2+4b)

后利用基本不等式求最值．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，新建道路交叉口的總造價（單位：萬元）為：
y=kβn=kβ（ax+b）；
（Ⅱ）P=

kx

y

=

x

β(ax+b)

=

1 4 a

β( 1 4 a2+b)

=

a

β(a2+4b)

．
由于 5%≤μ≤10%
有0.05≤

1

2(1+β)

≤0.1
則0.1≤

1

1+β

≤0.2
∴5≤1+β≤10．
∴4≤β≤9．
∴

1

9

≤

1

β

≤

1

4

．
又由已知P＞0，β＞0，從而

a

a2+4b

＞0．
所以P的取值范圍是

a

9(a2+4b)

≤P≤

a

4(a2+4b)

．
（Ⅲ）當b=4時，在（Ⅱ）的條件下，若路網最通暢，則β=9．
又造價比最高．
∴P=

a

9(a2+16)

=

1

9(a+ 16 a )

≤

1

9×2×4

=

1

72

．
當且僅當  a=

16

a

即a=4時取等號．
∴滿足（Ⅲ）的條件的原有道路標段是4個．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了學生的讀題能力，解答的關鍵在于讀懂題意，正確列出表達式，訓練了利用基本不等式求最值，是中高檔題．