Question

在平面直角坐標系xOy中，F是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點，過M、F、O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為

3

4

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過F作斜率為

1

2

的直線與拋物線交于A，B兩點，求AB的長度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M（x₀，

x02

2p

）（x₀＞0），Q（a，b），由題意可知b=

p

4

，根據點Q到準線的距離為

3

4

可解p；
（Ⅱ）由點斜式可得直線方程，代入拋物線方程消掉x可得y的二次方程，利用韋達定理及拋物線定義可得即可求得|AB|．

解答：解：（Ⅰ）F拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點F（0，

p

2

），
設M（x₀，

x02

2p

）（x₀＞0），Q（a，b），
由題意可知b=

p

4

，則點Q到拋物線C的準線的距離為b+

p

2

=

p

4

+

p

2

=

3

4

p=

3

4

，解得p=1，
于是拋物線C的方程為x²=2y．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為x²=2y，焦點F（0，

1

2

），
則直線方程為：y=

1

2

x+

1

2

，代入拋物線方程整理得，4y²-6y+1=0，
則yA+yB=

3

2

，
如右圖所示：|AB|=|AF|+|BF|=（yA+

p

2

）+（yB+

p

2

）=（y_A+y_B）+p=

3

2

+1=

5

2

．

點評：本題考查拋物線的簡單性質、直線與拋物線的位置關系，考查數形結合思想，屬中檔題．