Question

已知圓錐體的底面半徑為R，高為H求內接于這個圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h（如圖）．

Answer 1

分析：先設出圓柱的底面半徑，高為h，利用三角形相似，推出r的表達式，
然后求出體積表達式，利用均值不等式，求出體積最大值時的圓柱體的高h．

解答：解：設圓柱體半徑為r高為h
由△ACD∽△AOB得

H-h

H

=

r

R

．
由此得r=

R

H

(H-h)，
圓柱體體積V(h)=πr2h=

πR2

H2

(H-h)2h．
由題意，H＞h＞0，利用均值不等式，有
原式=4•

πR2

H2

•

H-h

2

•

H-h

2

•h≤4•

πR2

H2

•

H3

27

=

4

27

πR2H．
當

H-h

2

=h，時上式取等號，因此當h=

H

3

時，V（h）最大．

點評：本題考查旋轉體的體積，考查均值不等式求函數的最值，是中檔題．