Question

（2012•武漢模擬）已知函數f(x)=

lnx

x

-1．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設m＞0，求函數f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）證明：對?n∈N^*，不等式ln(

2+n

n

)＜

2+n

n

恒成立．

Answer 1

分析：（1）確定函數的定義域，求導函數，由導數的正負明確的函數的單調區間；
（2）分類討論，確定函數f（x）在[m，2m]上的單調性，從而可求函數的最大值；
（3）先確定函數在（0，+∞）上，恒有f（x）=

lnx

x

-1≤

1

e

-1，即

lnx

x

≤

1

e

，從而可得x∈（0，+∞），恒有lnx≤

1

e

x，進而可得結論．

解答：解：（1）函數的定義域為（0，+∞）
求導函數，可得f′（x）=

1-lnx

x2

令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令f′（x）＜0，可得x＞e；
∴函數f（x）的單調遞增區間為（0，e），單調遞減區間為（e，+∞）；
（2）①當0＜2m≤e，即0＜m≤

e

2

時，由（1）知，函數f（x）在[m，2m]上單調遞增，
∴f（x）_max=f（2m）=

ln2m

2m

-1；
②當m≥e時，由（1）知，函數f（x）在[m，2m]上單調遞減，
∴f（x）_max=f（m）=

lnm

m

-1；
③當m＜e＜2m，即

e

2

＜m＜e時，由（1）知，f（x）_max=f（e）=

1

e

-1
（3）由（1）知，當x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f（e）=

1

e

-1
∴在（0，+∞）上，恒有f（x）=

lnx

x

-1≤

1

e

-1，即

lnx

x

≤

1

e

當且僅當x=e時，等號成立
∴?x∈（0，+∞），恒有lnx≤

1

e

x
∵

2+n

n

＞0，

2+n

n

≠e
∴ln

2+n

n

＜

1

e

×

2+n

n

∴ln(

2+n

n

)＜

2+n

n

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查不等式的證明，解題的關鍵是確定函數的單調性，正確分類討論．