Question

在空間四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是四邊上的點(diǎn)，且滿足＝＝＝＝k.

(1)求證：M、N、P、Q共面.

(2)當(dāng)對(duì)角線AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形時(shí)，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)

Answer 1

解析:

(1)∵  ＝＝k

∴  MQ∥BD，且＝

∴  ＝＝

∴  MQ＝BD

又  ＝＝k

∴  PN∥BD，且＝

∴  ＝＝從而NP＝BD

∴  MQ∥NP，MQ，NP共面，從而M、N、P、Q四點(diǎn)共面.

(2)∵  ＝，＝

∴  ＝＝,＝

∴  MN∥AC，又NP∥BD.

∴  MN與NP所成的角等于AC與BD所成的角.

∵  MNPQ是正方形，∴  ∠MNP＝90°

∴  AC與BD所成的角為90°，

又AC＝a，BD＝b，＝＝

∴  MN＝a

又  MQ＝b,且MQ＝MN，

b＝a，即k＝.

說明：公理4是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點(diǎn).