Question

已知正四面體ABCD的棱長為a，點O是△BCD的中心，點M是CD中點．
（1）求點A到面BCD的距離；
（2）求AB與面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）∵棱長為a的正四面體中
AB=BC=CD=BD=AC=AD=a
在等邊三角形BCD中，CD邊的上高BM=

3

2

a
過A作底面BCD上的高，則垂足O為底面BCD的重心
則BO=

2

3

BM=

3

3

a
則AO=

AB2-BO2

=

6

3

a，
∴點A到面BCD的距離OA=

6

3

a
（說明：直接由公式計算得出正確結果不扣分）…6分
（2）由（1）可得∠ABO即為AB與面BCD所成角
在Rt△OAB中，OA=

6

3

a，AB=a
∴sin∠ABO=

OA

AB

=

6

3

即AB與面BCD所成角的正弦值為

6

3