Question

集合A是由適合以下性質的函數f（x）組成的：對于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是減函數．
（1）判斷函數f₁（x）=2-及f₂（x）=1+3•（（x≥0）是否在集合A中？試說明理由；
（2）對于（1）中你認為是集合A中的函數f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k對于任意的x≥0總成立．求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要判斷函數是否在集合A中，只要判斷對于任意的x≥0f（x）是否滿足f（x）∈（1，4]，且f（x）在（0，+∞）單調遞減即可
（2）由（1）可知，當x≥0時，，從而有f（x）+f（x+2）=2+•（≤k在（0，+∞）上恒成立
，從而轉化為求解2+在（0，+∞）上的最大值即可
解答：解：（1）∵f₁（49）=2-=-5∉（1，4]，∴f₁（x）不在集合A中．…（3分）
又∵x≥0，∴0＜（≤1，∴0＜3•（≤3，從而1＜1+3•（≤4．∴f₂（x）∈（1，4]．
又f₂（x）=1+3•（在[0，+∞）上為減函數，∴f₂（x）=1+3•（在集合A中．…（7分）
（2）當x≥0時，f（x）+f（x+2）=2+•（≤．
又由已知f（x）+f（x+2）≤k對于任意的x≥0總成立，∴k≥．
因此所求實數k的取值范圍是[，+∞）．                      …（14分）
點評：本題以集合的關系為載體主要考查了函數的單調性于函數的值域的求解，而函數的恒成立的問題的解決常轉化為求解函數的最值．