Question

已知函數f(x)=+aln(x-1),其中n∈N^*,a為常數.
(1)當n=2時,求函數f(x)的極值;
(2)當a=1時,證明:對任意的正整數n,當x≥2時,有f(x)≤x-1.

Answer 1

（1）當a＞0時,f(x)在x=1+處取得極小值,極小值為f（1+）=（1+ln）.
當a≤0時,f(x)無極值.
（2）證明見解析

(1) 由已知得函數f(x)的定義域為{x|x＞1},
當n=2時,f(x)=+aln(x-1),
所以f′(x)=.
①當a＞0時,由f′(x)=0,得
x₁=1+＞1,x₂=1-＜1,
此時f′(x)=.
當x∈(1,x₁)時,f′(x)＜0,f(x)單調遞減;
當x∈(x₁,+∞)時,f′(x)＞0,f(x)單調遞增.
②當a≤0時,f′(x)＜0恒成立,所以f(x)無極值.
綜上所述,n=2時,
當a＞0時,f(x)在x=1+處取得極小值,極小值為f（1+）=（1+ln）.
當a≤0時,f(x)無極值.
(2) 方法一 因為a=1,
所以f(x)=+ln(x-1).
當n為偶數時,
令g(x)=x-1--ln(x-1),
則g′(x)=1+-
=+＞0 (x≥2).
所以,當x∈［2,+∞)時,g(x)單調遞增,又g(2)=0,
因此,g(x)=x-1--ln(x-1)≥g(2)=0恒成立,
所以f(x)≤x-1成立.
當n為奇數時,要證f(x)≤x-1,由于＜0,
所以只需證ln(x-1)≤x-1,
令h(x)=x-1-ln(x-1),
則h′(x)=1-=≥0(x≥2),
所以,當x∈［2,+∞)時,h(x)=x-1-ln(x-1)單調遞增,
又h(2)=1＞0,所以當x≥2時,恒有h(x)＞0,
即ln(x-1)＜x-1命題成立.
綜上所述,結論成立.
方法二 當a=1時,f(x)=+ln(x-1).
當x≥2時,對任意的正整數n,恒有≤1,
故只需證明1+ln(x-1)≤x-1.
令h(x)=x-1-(1+ln(x-1))
=x-2-ln(x-1),x∈［2,+∞).
則h′(x)=1-=,
當x≥2時,h′(x)≥0,故h(x)在［2,+∞)上單調遞增,
因此,當x≥2時,h(x)≥h(2)=0,
即1+ln(x-1)≤x-1成立.
故當x≥2時,有+ln(x-1)≤x-1.
即f(x)≤x-1.