Question

(本小題滿分14分)省環保研究所對市中心每天環境放射性污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合放射性污染指數f(x)與時刻x(時)的關系為f(x)＝＋2a＋，x∈，其中a是與氣象有關的參數，且a∈]，若取每天f(x)的最大值為當天的綜合放射性污染指數，并記作M(a)．
(1) 令t＝，x∈，求t的取值范圍；
(2) 省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問：目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標？

Answer 1

(1) 當x＝0時，t＝0；(2分)
當0＜x≤24時，＝x＋.對于函數y＝x＋，∵y′＝1－，
∴當0＜x＜1時，y′＜0，函數y＝x＋單調遞增，
當1＜x≤24時，y′＞0，函數y＝x＋單調遞增，
∴y∈.
綜上，t的取值范圍是]．(5分)
(2) 當a∈]時，f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋＝(8分)
∵g(0)＝3a＋，g＝a＋，
g(0)－g＝2a－.
故M(a)＝
＝(10分)
當且僅當a≤時，M(a)≤2，(12分)
故a∈]時不超標，a∈]時超標．(14分)

解析