Question

以下四個命題：
①由圓的過圓心的弦最長的性質類比出球的過球心的截面面積最大的性質；
②（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₁+a₂+…+a_n=63則展開式中系數最大的項是20x³
③12名同學合影，站成了前排4人后排8人．現攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的種數是 C₈²A₆²
④S_k=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

（k=1，2，3，…），則S_k+1=S_k+

1

2k+1

-

1

2k+2

其中正確命題的序號是（　　）

A．①②

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：①根據類比推理進行判斷．②利用二項展開式的基本定理確定n的數值．③利用排列和組合的知識求解．④利用數列的通項公式判斷．

解答：解：①根據類比推理可知由圓的過圓心的弦最長的性質類比出球的過球心的截面面積最大的性質，所以①正確．
②由二次展開式可知，a₀=1，當x=1時，有2ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n=1+63=64，解得n=6，
所以二項式系數最大為

C

3 6

x3=20x3，所以②正確．
③從后排8人中選2人共C₈²種選法，這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，則先從4人中的5個空擋插入一人，有5種插法；余下的一人則要插入前排5人的空擋，有6種插法，所以為A₆²，則不同調整方法的種數是C₈²A₆²，所以③正確．
④因為Sk+1=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

，
所以Sk+1=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

=Sk+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

=Sk+

1

2k+1

-

1

2k+2

，所以④正確．
故選D．

點評：本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．