Question

已知△ABC的面積為3，并且滿足2

3

≤

AB

•

AC

≤6

3

，設

AB

與

AC

的夾角為θ．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數f(θ)=2

3

sin2(

π

4

+2θ)-2cos22θ-

3

的零點．

Answer 1

分析：（1）由△ABC的面積為3可得

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosθ=6cotθ，再由2

3

≤

AB

•

AC

≤6

3

求得

3

3

≤cotθ≤

3

，從而求得θ的取值范圍．
（2）化簡f（θ）的解析式為2sin(4θ-

π

6

)-1，令f（θ）=0⇒sin(4θ-

π

6

)=

1

2

①，由θ∈[

π

6

， 

π

3

]，可得 4θ-

π

6

∈[

π

2

， 

7π

6

]②，由①②知4θ-

π

6

=

5π

6

，可得θ的值．

解答：解：（1）由題意可得 S=

1

2

•|

AB

|•|

AC

|•sinθ=3，故|

AB

|•|

AC

|=

6

sinθ

，可得

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosθ=6cotθ，
∵2

3

≤

AB

•

AC

≤6

3

，∴2

3

≤6cotθ≤6

3

，故

3

3

≤cotθ≤

3

，故有 θ∈[

π

6

， 

π

3

]．
（2）f(θ)=2

3

sin2(

π

4

+2θ)-2cos22θ-

3

=

3

[1-cos(

π

2

+4θ)]-1-cos4θ-

3

=

3

sin4θ-cos4θ-1=2sin(4θ-

π

6

)-1，
令f（θ）=0⇒sin(4θ-

π

6

)=

1

2

①，
由θ∈[

π

6

， 

π

3

]，可得 4θ-

π

6

∈[

π

2

， 

7π

6

]②，
由①②知，4θ-

π

6

=

5π

6

，可得4θ=π，θ=

π

4

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦定理的應用，屬于中檔題．