Question

在下列五個函數(shù)中，①y=2^x，②y=log₂x，③y=x²，④y=x^-1，⑤y=cos2x．當0＜x¹＜x²＜1
時，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立的函數(shù)是

 

（將正確序號都填上）．

Answer 1

分析：因為 f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

；表示連接兩點A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂））的線段的中點縱坐標小于f（x）在曲線AB中點 (

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

))；的縱坐標，也就是說f（x）的圖象“上凸”．所以只需判斷哪個函數(shù)的圖象“上凸”即可．

解答：解：∵f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

；表示連接兩點A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂））的線段的中點縱坐標小于f（x）在曲線AB中點 (

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

))；的縱坐標，
也就是說f（x）的圖象“上凸”．所以只需判斷哪個函數(shù)的圖象“上凸”即可．
由圖形可直觀得到：①③④⑤的圖象都不是上凸的，只有②為“上凸”的函數(shù)．
故答案為：②．

點評：（1）不要忽視條件：x₁＞x₂＞1，它表示函數(shù)f（x）在（1，+∞）上“上凸”；
（2）

1

2

[f(x1)+f(x2)]＜f(

x1+x2

2

)；表示函數(shù)f（x）上凸；
（3）

1

2

[f(x1)+f(x2)]＞f(

x1+x2

2

)；表示函數(shù)f（x）下凸．