Question

設輪船A有兩個發動機，輪船B有四個發動機，如果半數或半數以上的發動機沒有故障，輪船就能夠安全航行，現設每個發動機發生故障的概率P是t的函數：P=1-e^-λt（其中t為發動機啟動后所經歷的時間，λ為正常數）．每個發動機工作相互獨立．
（1）分別求出輪船A，B安全航行的概率（用P表示）；
（2）根據時間t的變化，比較輪船A和輪船B哪一個更能安全航行？（除發動機發生故障外，不考慮其他因素）．

Answer 1

分析：（1）記輪船A，B安全航行為事件M、N，分析可得輪船A安全航行，即A的兩個發動機中至少有一個正常工作，輪船B安全航行，即B的四個發動機中至少有二個正常工作，其對立事件B的四個發動機全部故障或只有一個正常工作，由相互獨立事件概率的乘法公式，計算可得答案；
（2）由（1）的結論，做差可得：p（M）-p（N）=（1-p²）-（1+3p⁴-4p³）=-p²（p-1）（3p-1），分①p＜

1

3

，②p=

1

3

，③p＞

1

3

，三種情況討論，分析p（M）與p（N）的大小，進而可得答案．

解答：解：（1）記輪船A，B安全航行為事件M、N，
輪船A安全航行，即A的兩個發動機中至少有一個正常工作，則其對立事件為A的兩個發動機都不能正常工作，
則P（M）=1-p²，
輪船B安全航行，即B的四個發動機中至少有二個正常工作，其對立事件B的四個發動機全部故障或只有一個正常工作，
則P（N）=1-p⁴-C₄¹p³（1-p）=1+3p⁴-4p³，
（2）p（M）-p（N）=（1-p²）-（1+3p⁴-4p³）=-p²（p-1）（3p-1），
①當p＜

1

3

時，即1-e^-λt＜

1

3

，解可得t＜

ln 3 2

λ

時，p（M）＜p（N），輪船B能安全航行，
②當p=

1

3

時，即1-e^-λt=

1

3

，解可得t=

ln 3 2

λ

時，p（M）=p（N），輪船A、B一樣安全航行，
③當p＞

1

3

時，即1-e^-λt＞

1

3

，解可得t＞

ln 3 2

λ

時，p（M）＞p（N），輪船A更能安全航行，
答：當p＜

1

3

時，輪船B能安全航行，當p=

1

3

時，輪船A、B一樣安全航行，當p＞

1

3

時，輪船A更能安全航行．

點評：本題考查概率的應用，關鍵是熟練運用相互獨立事件概率乘法公式，用p表示出A、B正常航行的概率．