Question

若函數y=f（x）（x∈D）同時滿足以下條件：
①它在定義域D上是單調函數；②存在區間[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我們將這樣的函數稱作“A類函數”，
（1）函數y=2x-log₂x是不是“A類函數”？如果是，試找出[a，b]；如果不是，試說明理由；
（2）求使得函數f（x）=

1

2

x-

k

x

+1，x∈（0，+∞）是“A類函數”的常數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，驗證函數不是單調函數，故不是“A類函數”；
（2）先確定k＞0時，函數單調增，再利用函數f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，[a，b]∈（0，+∞），可得a，b是方程

1

2

x-

k

x

+1=x的兩個不等的正根，從而可求常數k的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數，可得y′=2-

1

xln2

，令y′=0，則x=

1

2ln2

，
∴函數y=2x-log₂x在（0，

1

2ln2

）上y′＜0，函數單調減，在（

1

2ln2

，+∞）上y′＞0，函數單調增
∴函數y=2x-log₂x不是“A類函數”；
（2）求導函數，可得f′（x）=

1

2

+

k

x2

，則k＞0時，f′（x）＞0，函數在（0，+∞）上單調增
設函數f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，[a，b]∈（0，+∞）
∴a，b是方程

1

2

x-

k

x

+1=x的兩個不等的正根
∴a，b是方程x²-2x+2k=0的兩個不等的正根
∴

△=4-8k＞0 k＞0

∴0＜k＜

1

2

綜上，0＜k＜

1

2

時，函數f（x）=

1

2

x-

k

x

+1，x∈（0，+∞）是“A類函數”．

點評：本題考查新定義，考查導數知識的運用，解題的關鍵是理解新定義，并利用新定義求參數的值．