Question

（2013•臨沂一模）已知等比數列{a_n}的首項為l，公比q≠1，S_n為其前n項和，a_l，a₂，a₃分別為某等差數列的第一、第二、第四項．
（I）求a_n和S_n；
（Ⅱ）設b_n=log₂a_n+1，數列{

1

bnbn+2

}的前n項和為T_n，求證：Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（I）由題意可得a₃-a₂=2（a₂-a₁），結合等比數列的通項公式表示已知，解方程可求q，進而利用等比數列的通項公式可求通項及和
（II）由（I）可知，b_n=log₂a_n+1=n，代入

1

bnbn+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），利用裂項求和方法即可求解T_n，可證明

解答：解：（I）a_l，a₂，a₃分別為某等差數列的第一、第二、第四項
∴a₃-a₂=2（a₂-a₁）
∴a1q2-a1q=2a1q-2a1
∵a₁=1
∴q²-3q+2=0
∴q=2
∴a_n=2^n-1
sn=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1
（II）由（I）可知，b_n=log₂a_n+1=n
∴

1

bnbn+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

點評：本題主要考查了等差數列的性質及等比數列的通項公式的應用，數列的裂項求和方法的應用