Question

在△ABC中，角A，B，C對的邊分別為a，b，c，且c=2，C=60°．
（1）求

a+b

sinA+sinB

的值；
（2）若a+b=ab，求△ABC的面積S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理求出a=

4 3

3

sinA，b=

4 3

3

sinB，然后代入所求的式子即可；
（2）由余弦定理求出ab=4，然后根據三角形的面積公式求出答案．

解答：解：（1）由正弦定理可設

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

sin60°

=

2

3 2

=

4 3

3

，
所以a=

4 3

3

sinA，b=

4 3

3

sinB，
所以

a+b

sinA+sinB

=

4 3 3 (sinA+sinB)

sinA+sinB

=

4 3

3

．              …（6分）
（2）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
即4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
又a+b=ab，所以（ab）²-3ab-4=0，
解得ab=4或ab=-1（舍去）
所以S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×

3

2

=

3

．                   …（14分）

點評：本題考查了正弦定理、余弦定理等知識．在解三角形問題中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及同角三角函數基本關系等問題，故應綜合把握．