Question

已知直線l：y=x+b及圓C：x²+y²=1，是否存在實數b，使自A（3，3）發出的光線被直線l反射后與圓相切于點（，），若存在，求出b的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：假設存在這樣的實數b，則A（3，3）關于l的對稱點A′為（3-b，3+b），故反射線所在直線方程為（25b+68）x+（15b-51）y-31b-51=0，又反射線與圓x²+y²=1相切，故=1，由此能夠推導出存在實數b=4滿足條件．
解答：解：假設存在這樣的實數b，
則A（3，3）關于l的對稱點A′為（3-b，3+b），
∴反射線所在直線方程為
，
即（25b+68）x+（15b-51）y-31b-51=0，
又反射線與圓x²+y²=1相切，
∴=1，
整理得：b²-8b+16=0，
∴b=4．
∴存在實數b=4滿足條件．
點評：本題考查直線與圓的方程的綜合運用，考查直線方程的求法和圓的基本性質，考查點到直線的距離公式．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．